【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=8,BC=6,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度先沿CB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,再沿BA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),以DP,DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t=2時(shí),求PD的長;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí),連結(jié)DE,求證:DE∥AP.
(3)如圖3,連結(jié)CD.
①當(dāng)點(diǎn)E恰好落在△ACD的邊上時(shí),求所有滿足要求的t值;
②記運(yùn)動(dòng)過程中PEQD的面積為S,PEQD與△ACD的重疊部分面積為S1,當(dāng)<時(shí),請(qǐng)直接寫出t的取值范圍是 ______ .
【答案】(1)(2)證明見解析(3)①分三種情況討論:滿足要求的t的值為或或.②當(dāng)<時(shí), t的取值范圍是<t<.
【解析】(1)如圖1中,作DF⊥CA于F,
當(dāng)t=2時(shí),AP=2,DF=ADsinA=5×=3,
∵AF=ADcosA=5×=4,
∴PF=4-2=2,
∴PD===.
(2)如圖2中,
在平行四邊形PEQD中,
∵PE∥DQ,
∴PE∥AD,
∵AD=DQ.PE=DQ,
∴PE=AD,
∴四邊形APED是平行四邊形,
∴DE∥AP.
(3)①分三種情況討論:
Ⅰ.當(dāng)點(diǎn)E在CA上時(shí),
DQ⊥CB(如圖3所示),
∵∠ACB=Rt∠,CD是中線,∴CD=BD,∴CQ=CB=3即:t=
Ⅱ.當(dāng)點(diǎn)E在CD上,且點(diǎn)Q在CB上時(shí) (如圖4所示),
過點(diǎn)E作EG⊥CA于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH⊥CB于點(diǎn)H,
易證Rt△PGE≌Rt△PHQ,∴PG=DH=4,
∴CG=4-t,GE=HQ=CQ-CH=2t-3,
∵CD=AD,∴∠DCA=∠DAC
∴在Rt△CEG中,tan∠ECG===,∴t=
Ⅲ.當(dāng)點(diǎn)E在CD上,且點(diǎn)Q在AB上時(shí)(如圖5所示),過點(diǎn)E作EF⊥CA于點(diǎn)F,
∵CD=AD,∴∠CAD=∠ACD.
∵PE∥AD,∴∠CPE=∠CAD=∠ACD,∴PE=CE,
∴PF=PC=,PE=DQ=11-2t,
∴在Rt△PEF中,cos∠EPF===
∴t=
綜上所述,滿足要求的t的值為或或.
②如圖6中,PE交CD于E′,作E′G′⊥AC于G′,EG⊥AC于G.
當(dāng)△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的時(shí),PE′:EE′=2:1,
由(Ⅱ)可知CG=4-t,GE=2t-3,
∴PG=8-t-(4-t)=4,
∵E′G′∥EG,
∴===,
∴PG′=,E′G′=(2t-3),CG′=8-t-=-t,
∵tan∠ECG==,
解得t=.
如圖7中,當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí),PE交CD于E′,作E′G′⊥AC于G′.
∵△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的,
∴PE′:EE′=2:1,
由Ⅲ可知,PG′=PC=4-t,PE′=DQ=(11-2t),
∵cos∠E′PG′==,
∴,
解得t=,
綜上所述,當(dāng)<時(shí),請(qǐng)直接寫出t的取值范圍是<t<.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上三點(diǎn)M,O,N對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-1,0,3,點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x.
(1)MN的長為 ;
(2)如果點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等,那么x的值是 ;
(3)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離之和是8?若存在,直接寫出x的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(4)如果點(diǎn)P以每分鐘1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)M和點(diǎn)N分別以每分鐘2個(gè)單位長度和每分鐘3個(gè)單位長度的速度也向左運(yùn)動(dòng).設(shè)t分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,B,C兩點(diǎn)把線段AD分成4:5:7的三部分,E是線段AD的中點(diǎn),CD=14厘米.
(1)求EC的長.
(2)求AB:BE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(0<t<3),過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D. ① 求線段PD的長的最大值;② 當(dāng)BD=2CD時(shí),求t的值;
(3)若點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),拋物線上存在點(diǎn)M,使得以B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列事件概率為1的是( 。
A.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次,命中靶心
B.任意畫一個(gè)三角形,其外角和是360°
C.籃球隊(duì)員投籃一次未命中
D.丟一個(gè)骰子,向上一面的點(diǎn)數(shù)為7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC.問:此時(shí)直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說明理由.
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,則 t的值為 秒(直接寫出結(jié)果).
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,試探索:在旋轉(zhuǎn)過程中,∠AOM與∠NOC的差是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)求出這個(gè)差值;若變化,請(qǐng)求出差的變化范圍.
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