Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數(shù)的圖象過點A（3，0），與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點P，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，

∴△=22+4m＞0

∴m＞﹣1；

（2）解：∵二次函數(shù)的圖象過點A（3，0），

∴0=﹣9+6+m

∴m=3，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

令x=0，則y=3，

∴B（0，3），

設直線AB的解析式為：y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+3，

∵拋物線y=﹣x2+2x+3，的對稱軸為：x=1，

∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，

∴P（1，2）．

【解析】（1）由二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，得到△=22+4m＞0于是得到m＞﹣1；（2）把點A（3，0）代入二次函數(shù)的解析式得到m=3，于是確定二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3，求得B（0，3），得到直線AB的解析式為：y=﹣x+3，把對稱軸方程x=1，代入直線y=﹣x+3即可得到結(jié)果．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．