Question

如圖-1，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D，E兩點的坐標；
（2）如圖-2，若AE上有一動點P（不與A，E重合）自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動的時間為t秒（），過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE的平行線交DE于點N．求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時刻點M的坐標．

Answer 1

解：（1）依題意可知，折痕是四邊形的對稱軸， ∴在中，，． ． ． ∴點E坐標為（2，4）． 在中，， 又．  ． 解得：． 點坐標為 （2）如圖①，． ，又知，，， ．又 而顯然四邊形為矩形． 又 ∴當時，有最大值． （3）（i）若以為等腰三角形的底，則（如圖①） 在中，， ， ∴P為的中點， 又， ∴M為的中點．過點M作，垂足為F，則是的中位線， ，， ∴當時，，為等腰三角形． 此時點M坐標為． （ii）若以AE為等腰三角形的腰，則（如圖②） 在中，． 過點M作，垂足為F． ， ． ． ， ． ， ， ∴當時，（），此時點M坐標為． 綜合（i）（ii）可知，或時，以為頂點的三角形為等腰三角形， 相應(yīng)點M的坐標為或．