Question

如果一個數(shù)能表示成x²+2xy+2y²（x，y是整數(shù)），我們稱這個數(shù)為“好數(shù)”．
（1）你認為“好數(shù)”的特征是什么？判斷29是否為“好數(shù)”？
（2）寫出1，2，3，…，9中的“好數(shù)”；
（3）如果m，n都是“好數(shù)”，那么mn是否為“好數(shù)”？為什么？

Answer 1

證明：（1）x²+2xy+2y²=（x+y）²+y²，特征：“好數(shù)”是“好數(shù)”就是兩個整數(shù)的平方和，29=5²+2²，故29是“好數(shù)”，
（2）1，2，3，…，9中的“好數(shù)”的有1、2、4、5、8、9，
（3）設m=x²+2xy+2y²，n=p²+2pq+2q²．則 mn=（x²+2xy+2y²）（p²+2pq+2q²）=[（x+y）²+y²][（p+q）²+q²]=[（x+y）（p+q）+qy]²+[q（x+y）-y（p+q）]²，
令 u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）-y（p+q）．
那么 mn=（u+v）²+v²=u²+2uv+2v²，
因為x，y，p，q均為整數(shù)，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）-y（p+q）也為整數(shù)，
所以u+v，v為整數(shù)，所以u，v為整數(shù)．因此mn為“好數(shù)”．