Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長(zhǎng)為xcm，CQ的長(zhǎng)為ycm．
（1）點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過程中y的最大值為______cm；
（2）當(dāng)y=cm時(shí)，求x的值為______

Answer 1

【答案】分析：（1）不管P如何移動(dòng)，都有△ABP∽△PCQ，根據(jù)比例線段可得到關(guān)于y的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)來求出y的最大值．
（2）由y的值代入函數(shù)式即可求出x的值．
解答：解：（1）∵PQ⊥AP，∠CPQ+∠APB=90度．
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPQ=∠BAP，
∴tan∠CPQ=tan∠BAP，
因此，點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)始終有，
∵AB=BC=4，BP=x，CQ=y，
∴，
∴y=-（x²-4x）=（x²-4x+4）+1=-（x-2）²+1（0＜x＜4），
∵a=-＜0，
∴y有最大值（當(dāng)x=2時(shí)），y最大=1（cm）；

（2）由（1）知，y=-（x²-4x）當(dāng)y=cm時(shí)，=-（x²-4x），
整理，得x²-4x+1=0，
∵b²-4ac=12＞0，
∴x=．
∵0＜2±＜4，
∴當(dāng)y=cm時(shí)，x的值是（2+）cm或（2-）cm．
點(diǎn)評(píng)：本題主要運(yùn)用了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)求最大值的內(nèi)容和相關(guān)知識(shí)．