Question

已知：如圖，點O的坐標為（0，0），點A的坐標為（4

3

，0），點P在第一象限，且cos∠OPA=

1

2

．
（1）求出點P的坐標（一個即可）；
（2）當點P的坐標是多少時，△OPA的面積最大，并求出△OPA面積的最大值（不要求證明）；
（3）當△OPA的面積最大時，求過O、P、A三點的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）可作直角三角形OP₁A，且以∠P₁AO為直角，∠P₁OA=30°，那么此時P₁就是符合條件的一個P點，那么根據(jù)OA的長，和∠P₁OA的度數(shù)來求出P₁點的坐標．
（2）由題意不難得出，P點的集合應(yīng)該是以O(shè)P₁為直徑的優(yōu)弧OA，如果△POA的面積最大，那么P點必為優(yōu)弧OA的中點，此時△POA為等邊三角形，據(jù)此可求出△OPA的最大面積．
（3）過P作PH⊥OA，那么可在直角三角形OMH中，先求出HM的長，進而可求出P點的坐標，然后根據(jù)O，P，A三點坐標用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）如圖，作Rt△OP₁A，使∠P₁AO=90°，∠P₁OA=30°，則∠OP₁A=60°，
即點P₁為所求的點，
這時，P₁A=OA•tan30°=4

3

×

3

3

=4
∴點P₁的坐標為（4

3

，4）
或作等邊△OPA，則∠OPA=60°
這時，點P的坐標為（2

3

，6）．

（2）點P在第一象限且在以O(shè)P₁為直徑，以O(shè)A為弦的優(yōu)弧上，
當PO=PA時，△OPA的面積最大，
過P作PH⊥x軸于H，則點P的坐標為（2

3

，6），
這時，S_△OPA=

1

2

|OA|•|PH|=

1

2

×4

3

×6=12

3

．

（3）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點O（0，0），A（4

3

，0）P（2

3

，6），
∴

c=0 48a+4 3 b+c=0 12a+2 3 b+c=6

，
解得

a=- 1 2 b=2 3 c=0

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+2

3

x，
附表點P的坐標還可以為：設(shè)P（x，y）．

x	4 3	2 3	3 3	3	…
y	4	6	2+ 13	2+ 13	…

點評：本題考查二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法等知識；
（2）（3）中結(jié)合圓的知識來確定出△POA面積最大時P點的位置是解題的關(guān)鍵．