Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DO﹣OC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)N落在BD上時(shí)t的值；
（2）直接寫出點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線AD﹣DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)點(diǎn)N落在BD上時(shí)，如圖1．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴ ．

∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，

∴ ．

∴t= ．

∴當(dāng)t= 時(shí)，點(diǎn)N落在BD上

（2）解：①如圖2，

則有QM=QP=t，MB=4﹣t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，

∴QM=BM．

∴t=4﹣t．

∴t=2．

②如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴DB=5．

∵點(diǎn)O是DB的中點(diǎn)，

∴DO= ．

∴1×t=AD+DO=3+ ．

∴t= ．

∴當(dāng)點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)，t的范圍是2＜t＜

（3）解：①當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，如圖4．

S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．

②當(dāng) ＜t≤3時(shí)，如圖5，

∵tan∠ADB= = ，

∴ = ．

∴PG=4﹣ t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣ t）= ﹣4．

∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，

∴ ．

∴NF= GN= （ ﹣4）= t﹣3．

∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF

=t2﹣ ×（ ﹣4）×（ t﹣3）

=﹣ t2+7t﹣6．

③當(dāng)3＜t≤ 時(shí)，如圖6，

∵四邊形PQMN是正方形，四邊形ABCD是矩形．

∴∠PQM=∠DAB=90°．

∴PQ∥AD．

∴△BQP∽△BAD．

∴ ．

∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，

∴ ．

∴BQ= ，PQ= ．

∴QM=PQ= ．

∴BM=BQ﹣QM= ．

∵tan∠ABD= ，

∴FM= BM= ．

∴S=S梯形PQMF= （PQ+FM）QM

= [ + ]

= （8﹣t）2

= t2﹣ t+ ．

綜上所述：當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，S=t2．

當(dāng) ＜t≤3時(shí)，S=﹣ t2+7t﹣6．

當(dāng)3＜t≤ 時(shí)，S= t2﹣ t+

（4）解：設(shè)直線DN與BC交于點(diǎn)E，

∵直線DN平分△BCD面積，

∴BE=CE= ．

①點(diǎn)P在AD上，過點(diǎn)E作EH∥PN交AD于點(diǎn)H，如圖7，

則有△DPN∽△DHE．

∴ ．

∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE= ，EH=AB=4，

∴ ．

解得；t= ．

②點(diǎn)P在DO上，連接OE，如圖8，

則有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴ ．

∵DP=t﹣3，DO= ，OE=2，

∴PN= （t﹣3）．

∵PQ= （8﹣t），PN=PQ，

∴ （t﹣3）= （8﹣t）．

解得：t= ．

③點(diǎn)P在OC上，設(shè)DE與OC交于點(diǎn)S，連接OE，交PQ于點(diǎn)R，如圖9，

則有OE=2，OE∥DC．

∴△DSC∽△ESO．

∴ ．

∴SC=2SO．

∵OC= ，

∴SO= = ．

∵PN∥AB∥DC∥OE，

∴△SPN∽△SOE．

∴ ．

∵SP=3+ + ﹣t= ，SO= ，OE=2，

∴PN= ．

∵PR∥MN∥BC，

∴△ORP∽△OEC．

∴ ．

∵OP=t﹣ ，OC= ，EC= ，

∴PR= ．

∵QR=BE= ，

∴PQ=PR+QR= ．

∵PN=PQ，

∴ = ．

解得：t= ．

綜上所述：當(dāng)直線DN平分△BCD面積時(shí)，t的值為 、 、 ．

【解析】（1）可證△DPN∽△DQB，從而有 ，即可求出t的值．（2）只需考慮兩個(gè)臨界位置（①M(fèi)N經(jīng)過點(diǎn)O，②點(diǎn)P與點(diǎn)O重合）下t的值，就可得到點(diǎn)O在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．（3）根據(jù)正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形形狀不同分成三類，如圖4、圖5、圖6，然后運(yùn)用三角形相似、銳角三角函數(shù)等知識(shí)就可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）由于點(diǎn)P在折線AD﹣DO﹣OC運(yùn)動(dòng)，可分點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)P在DO上，點(diǎn)P在OC上三種情況進(jìn)行討論，然后運(yùn)用三角形相似等知識(shí)就可求出直線DN平分△BCD面積時(shí)t的值．