Question

如圖．AD、AH分別是△ABC（其中AB＞AC）的角平分線、高線，M點是AD的中點，△MDH的外接圓交CM于E，求證∠AEB=90°．

Answer 1

證明：如圖，連接MH，EH，
∵M是Rt△AHD斜邊AD的中點，
∴MA=MH=MD，
∴∠MHD=∠MDH，
∵M，D，H，E四點共圓，
∴∠HEC=∠MDH，
∴∠MHD=∠MDH=∠HEC，
∴∠MHC=180°-∠MHD=180°-∠HEC=∠MEH，
∵∠CMH=∠HME，
∴△CMH∽△HME，
∴，即MH²=ME•MC，
∴MA²=ME•MC，
又∵∠CMA=∠AME，
∴△CMA∽△AME，
∴∠MCA=∠MAE，
∴∠BHE+∠BAE=∠DHE+∠BAD+∠MAE=∠DHE+∠MAC+∠MCA=∠DHE+∠DME=180°，
∴A，B，H，E四點共圓，
∴∠AEB=∠AHB，
又∵AH⊥BH，
∴∠AHB=90°，
∴∠AEB=∠AHB=90°．
分析：連接MH，EH，由直角三角形斜邊中點的性質(zhì)，得MH=MA=MD，則∠MHD=∠MDH，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得∠HEC=∠MDH，即∠MHD=∠HEC，利用互補關(guān)系可證∠MHC=∠MEH，又公共角∠CMH=∠HME，可證△CMH∽△HME，利用相似比得MH²=ME•MC，而MH=MA，故MA²=ME•MC，將問題轉(zhuǎn)化到△CMA與△AME中，利用公共角證明△CMA∽△AME，可得∠MCA=∠MAE，利用角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化，證明∠BHE+∠BAE=180°，可判斷A，B，H，E四點共圓，證明結(jié)論．
點評：本題考查了四點共圓，相似三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)證明角相等，證明三角形相似，再利用相似比，將線段轉(zhuǎn)化，證明新的相似三角形，得出相等角，利用角的和差關(guān)系證明四點共圓．