Question

閱讀下面的文字，完成后面的問題．
我們知道，

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，那么

1

4×5

=

 

，

1

2005×2006

=

 

．
（1）用含有n的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律

 

；
（2）依上述方法將計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2003×2005

=

 

（3）如果n，k均為正整數(shù)，那么

1

n(n+k)

=

 

．

Answer 1

分析：觀察發(fā)現(xiàn)，每一個等式的左邊都是一個分數(shù)，其中分子是1，分母是連續(xù)的兩個正整數(shù)之積，并且如果是第n個等式，分母中的第一個因數(shù)就是n，第二個因數(shù)是n+1；等式的右邊是兩個分數(shù)的差，這兩個分數(shù)的分子都是1，分母是連續(xù)的兩個正整數(shù)，并且是第n個等式，被減數(shù)的分母就是n，減數(shù)的分母是n+1．然后把n=4，n=2005代入即可得出第5個等式；
（1）先將（1）中發(fā)現(xiàn)的第n個等式的規(guī)律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

代入，再計算即可；
（2）先類比（1）的規(guī)律，得出

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），再計算即可．
（3）根據(jù)（2）的規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答：解：∵第一個式子：

1

1×2

=1-

1

2

；
第二個式子：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；
第三個式字：

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…
∴

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

2005×2006

=

1

2005

-

1

2006

．
故答案為：

1

4

-

1

5

，

1

2005

-

1

2006

；

（1）由以上得出的規(guī)律可知，第n個等式的規(guī)律

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2003

-

1

2005

）
=

1

2

（1-

1

2005

）
=

1002

2005

（3）由（2）可知n，k均為正整數(shù)，

1

k

•(

1

n

-

1

n+k

)．

點評：本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化，得出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

n(n+k)

=

1

k

（1-

1

n+1

）以及抵消法的運用是解題的關(guān)鍵．