Question

【題目】如圖，已知拋物線過點(diǎn)，，.點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn).若四邊形為正方形（此處限定點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)），求該正方形的面積；

（3）若，，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）24+8或24﹣8（3）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為、2、﹣1、

【解析】

試題分析：（1）待定系數(shù)法求解可得；

（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），分別表示出ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m﹣2，由四邊形MNFE為正方形知ME=MN，據(jù)此列出方程，分類討論求解可得；

（3）先求出直線BC解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），則點(diǎn)N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、點(diǎn)D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根據(jù)點(diǎn)M的位置分類討論求解可得．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），

∴設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

將點(diǎn)C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），

解得：a=﹣1，

∴所求拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣=1，

如圖1，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N關(guān)于x=1對(duì)稱，且點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四邊形MNFE為正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分兩種情況：

①當(dāng)﹣m2+2m+3=2m﹣2時(shí)，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去），

當(dāng)m=時(shí)，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8；

②當(dāng)﹣m2+2m+3=2﹣2m時(shí)，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去），

當(dāng)m=2+時(shí)，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8；

綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8．

（3）設(shè)BC所在直線解析式為y=kx+b，

把點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入表達(dá)式，得：

，解得： ，

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x+3，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），則點(diǎn)N（2﹣a，﹣a2+2a+3），點(diǎn)D（a，﹣a+3），

①點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，即a＞1，

則|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a=或a=＜1（舍去）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1（舍去）或a=2；

②點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)，即a＜1，

則|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，

若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，

解得：a=﹣1或a=2（舍）；

若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，

解得：a=（舍去）或a=；

綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為、2、﹣1、．