【題目】如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合),Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過(guò)P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.

(1)當(dāng)∠BQD=30°時(shí),求AP的長(zhǎng);

(2)證明:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn);

(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長(zhǎng);如果變化請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)2;(2)證明見解析;(3)3.

【解析】試題分析:(1)先判斷出∠QPC是直角,再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)得出QC=2PC,建立方程求解決即可;
(2)先作出PFBC得出∠PFA=FPA=A=60°,進(jìn)而判斷出DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出結(jié)論;
(3)利用等邊三角形的性質(zhì)得出EF=AF,借助DF=DB,即可得出DF=BF,最后用等量代換即可.

試題解析:(1)解:設(shè)AP=x,則BQ=x,
∵∠BQD=30°,C=60°
∴∠QPC=90°,
QC=2PC,即x+6=2(6-x),
解得x=2,
AP=2.
(2)證明:如圖,

過(guò)P點(diǎn)作PFBC,交ABF,
PFBC,
∴∠PFA=FPA=A=60°,
PF=AP=AF,
PF=BQ,
又∵∠BDQ=PDF,DBQ=DFP,
∴△DQB≌△DPF,
DQ=DPDPQ中點(diǎn),
(3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)不發(fā)生變化,是定值為3,
理由:∵PF=AP=AF,PEAF,
EF=AF
又∵△DQB≌△DPF,
DF=DB,即DF=BF,
ED=EF+DF= (AF+BF)=AB=3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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求證:(1)ADA′≌△CDE;

(2)直線CE是線段AA′的垂直平分線.

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(1)求證:ABOC;

(2)如圖2,E、FCB上,且滿足∠FOB=AOB,OE平分∠COF.

①當(dāng)∠C=110°時(shí),求∠EOB的度數(shù).

②若平行移動(dòng)AB,那么∠OBC :OFC的值是否隨之發(fā)生變化?若變化,找出變

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