Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，對角線BD⊥AD，DE⊥AB于E，CF⊥BD于F．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）若AD=4，AE=2，求EF的長．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥AB，AB∥CD，
∴DE⊥CD，
∴∠1+∠3=90°，
∵BD⊥AD，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵CF⊥BD，DE⊥AB，
∴∠CFD=∠AED=90°，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF．

（2）解：∵DE⊥AB，AE=2，AD=4，
∴∠2=30°，DE=，
∴∠3=90°-∠2=60°，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等邊三角形，
∴EF=DF=．
分析：（1）求出∠1=∠2，求出∠CFD=∠AED=90°，根據(jù)AAS證出△ADE≌△CDF即可；
（2）求出∠2=30°，根據(jù)勾股定理求出DE，求出∠3=60°，根據(jù)全等三角形性質(zhì)求出DE=DF，得出△DEF是等邊三角形即可．
點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠1=∠2和求出△DEF是等邊三角形，主要培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．