Question

如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點B和點C，點A是拋物線與x軸的另一個交點．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；
（2）若點Q在拋物線的對稱軸上，能使△QAC的周長最小，請求出Q點的坐標(biāo)；
（3）在直線BC上是否存在一點P，且s_△PAC：S_△PAB=1：3？若存在，求P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線BC的解析式，即可求出B、C兩點的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式，然后將所得的解析式化為頂點坐標(biāo)式，即可得到該拋物線的頂點坐標(biāo)．
（2）由于AC的長為定值，若△QAC的周長最小，那么QA+QC的值最��；已知A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么所求的點Q必為直線BC與拋物線對稱軸的交點，已知了直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求得點Q的坐標(biāo)．
（3）由于△PAC、△PAB同高不等底，那么它們的面積比等于底長的比，即PB=3PC，設(shè)出點P點坐標(biāo)P（a，-a+3），因此：
①當(dāng)P在BC延長線上，即a＜0時，過P作PM⊥x軸于M，易證得△BCO∽△BPM，根據(jù)BC、PB的比例關(guān)系，即可求出PM、BM的值，從而確定P點的坐標(biāo)；
②當(dāng)P在線段BC上，即0＜a＜3時，解法同上；
③當(dāng)P在CB延長線上，即a＞3時，此時PC＞PB，顯然不符合題意，因此此種情況不成立．
綜合上面三種情況即可求得符合條件的P點坐標(biāo)．
解答：解：（1）直線y=-x+3中，
當(dāng)x=0時，y=3；當(dāng)y=0時，x=3；
故C（0，3），B（3，0）．
代入拋物線的解析式中，可得：
，
解得；
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
由于y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
故頂點坐標(biāo)為（1，4）．（4分）

（2）若△QAC的周長最小，那么QA+QC最��；
由題意知：A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
所以直線BC與拋物線對稱軸的交點即為所求的Q點；
則有：，
解得；
故Q（1，2）．（5分）

（3）由于△PAC、△PAB等高，則它們的面積比等于底邊的比，
所以PB=3PC；
設(shè)P（a，-a+3），分三種情況考慮：
①當(dāng)a＜0時，P點位于BC的延長線上；
過P作PM⊥x軸于M，則有：BM=PM=3-a；
∵PM⊥x軸，CO⊥x軸，
∴PM∥CO，即△BCO∽△BPM；
得：=，
∵OC=OB=3，
∴a=-1.5，PM=BM=4.5；
故P（-1.5，4.5）；
②當(dāng)0≤a≤3時，P點位于線段BC上；
同①可求得點P（）；
③當(dāng)a＞3時，P點位于CB的延長線上，此時PC＞PB，此種情況不成立．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-1.5，4.5）或（）．（14分）
點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開-最短路徑問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖象面積的求法等重要知識．（3）題中，能夠?qū)⑷�角形的面積關(guān)系，轉(zhuǎn)化為線段的比例關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．