Question

【題目】如圖，雙曲線y= 經過點A（1，2），過點A作y軸的垂線，垂足為B，交雙曲線y=﹣ 于點C，直線y=m（m≠0）分別交雙曲線y=﹣ 、y= 于點P、Q．

（1）求k的值；
（2）若△OAP為直角三角形，求點P的坐標；
（3）△OCQ的面積記為S△OCQ ， △OAP的面積記為S△OAP，試比較S△OCQ與S△OAP的大小（直接寫出結論）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵雙曲線y= 經過點A（1，2），

∴k=1×2=2；

（2）解：設P（﹣ ，m），

∵A（1，2），

∴OA2=12+22=5，AP2=（1+ ）2+（2﹣m）2，OP2=（ ）2+m2，

當∠AOP=90°時，

∵OA2+OP2=AP2，即5+（ ）2+m2=（1+ ）2+（2﹣m）2，解得m=±3，

∴P1（﹣6，3），P2（6，﹣3）；

當∠OAP=90°時，

∵OA2+AP2=OP2，即5+（1+ ）2+（2﹣m）2=（ ）2+m2，解得m= ，

∴P3（ ），P4（ ）；

當∠APO=90°時，此種情況不存在；

（3）解：∵A（1，2），

∴C（﹣9，2）．

設P（﹣ ，m），則Q（ ，m），

分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N、K、H，

∵點A、Q在反比例函數y= 的圖象上，

∴S△AOM=S△QON=1．

∵點C、P在反比例函數y=﹣ 的圖象上，

∴S△COH=S△POK=9．

S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK，

∴S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，

∵梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同，

∴只要比較HN與KM的大小即可，

∵HN﹣KM=（9+ ）﹣（1+ ）=8﹣ ，

∴當m=±2時，HN=KM，即S△OCQ=S△OAP；

當m＞2或m＜﹣2時，8﹣ ＞0，即S△OCQ＞S△OAP；

當﹣2＜m＜2時，8﹣ ＜0，即S△OCQ＜S△OAP．

【解析】（1）將點A的坐標代入反比例函數解析式即可求出k的值。
（2）設出點P的坐標，根據點A、P、O的坐標，分別求出OA2、AP2、OP2，再分三種情況討論：當∠AOP=90°時，得出OA2+OP2=AP2，建立關于m的方程，求解即可求出點P的坐標；當∠OAP=90°時，則OA2+AP2=OP2，建立關于m的方程，求解即可求出點P的坐標；當∠APO=90°時，此種情況不存在。
（3）根據點A（1，2）可得出C（﹣9，2）．分別設出點P、Q的坐標，分別過點A、Q、P、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N、K、H，再由反比例函數圖像上的點的坐標特點得出△AOM、△QON、△COH、△POK的面積，然后根據S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，由于梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同，因此只需比較HN與KM的大小即可，從而分三種情況討論，可求得結論。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數的性質的相關知識，掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大，以及對三角形的面積的理解，了解三角形的面積=1/2×底×高．