Question

（2012•西城區(qū)一模）已知：如圖1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA四條邊上的點(diǎn)（且不與各邊頂點(diǎn)重合），設(shè)m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范圍．
（1）如圖2，當(dāng)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA四邊中點(diǎn)時(shí)，m=

20

．
（2）為了解決這個(gè)問題，小貝同學(xué)采用軸對(duì)稱的方法，如圖3，將整個(gè)圖形以CD為對(duì)稱軸翻折，接著再連續(xù)翻折兩次，
從而找到解決問題的途徑，求得m的取值范圍．①請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全小貝同學(xué)翻折后的圖形；②m的取值范圍是

20≤m＜28

．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求出矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度，再利用三角形中位線的性質(zhì)得出EH=

1

2

BD，EF=

1

2

AC，F(xiàn)G=

1

2

BD，HG=

1

2

AC，進(jìn)而求出即可；
（2）①利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出答案即可；
②利用兩點(diǎn)之間線段最短以及三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍即可．

解答：解：（1）如圖2，連接AC，BD，
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AC=BD=

62+82

=10，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA四邊中點(diǎn)，
∴EH，EF，F(xiàn)G，HG，分別是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位線，
∴EH=

1

2

BD，EF=

1

2

AC，F(xiàn)G=

1

2

BD，HG=

1

2

AC，
∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；   
                     
（2）①如圖3所示（虛線可以不畫），


②由圖形可知，四邊形的周長(zhǎng)即折線HM的長(zhǎng)，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，折線HM≥20，即周長(zhǎng)不小于20；                  
又由題可知，四邊形周長(zhǎng)小于矩形ABCD的周長(zhǎng)，即周長(zhǎng)小于28，
故20≤m＜28．
故答案為：20；20≤m＜28．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)，利用翻折變換的性質(zhì)得出折線HM與四邊形的周長(zhǎng)關(guān)系是解題關(guān)鍵．