Question

如圖，點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)（C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形△ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與CE相交于點(diǎn)N．
（1）求證：MN∥AB；
（2）若AB的長(zhǎng)為10cm，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的一點(diǎn)C，使線段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)？若存在，請(qǐng)確定C點(diǎn)的位置并求出MN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ACD與△BCE是等邊三角形，
∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE與△DCB中，
∵，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM與△DCN中，
∵，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；

（2）解：假設(shè)符合條件的點(diǎn)C存在，設(shè)AC=x，MN=y，
∵M(jìn)N∥AB，
∴=，
即=，
y=-（x-5）²+2.5（0＜x＜10），
當(dāng)x=5時(shí)，y_max=2.5cm．
分析：（1）由題中條件可得△ACE≌△DCB，進(jìn)而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等邊三角形，即可得出結(jié)論；
（2）可先假設(shè)其存在，設(shè)AC=x，MN=y，進(jìn)而由平行線分線段成比例即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線分線段成比例的性質(zhì)和二次函數(shù)問(wèn)題，能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，從而熟練求解．