Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1 ．
（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)， ∵∠ACD﹣∠ABD=∠
∴∠ACD﹣∠ABD=°
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線
∴∠A1CD﹣∠A1BD= （∠ACD﹣∠ABD）
∴∠A1=°；
（2）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2 ， ∠A2BC與A2CD的平分線交于A3 ， 如此繼續(xù)下去可得A4、…、An ， 請寫出∠A與∠An的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D=230度，則∠F= ．
（4）如圖3，若E為BA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠Q﹣∠A1的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請寫出正確的結(jié)論，并求出其值．

Answer 1

【答案】
（1）A；70；35
（2）∠An= ∠A
（3）25°
（4）①∠Q+∠A1的值為定值正確．

∵∠ACD﹣∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線

∴∠A1=∠A1CD﹣∠A1BD= ∠BAC，（1分）

∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分線，

∴∠QEC+∠QCE= （∠AEC+∠ACE）= ∠BAC，

∴∠Q=180°﹣（∠QEC+∠QCE）=180°﹣ ∠BAC，

∴∠Q+∠A1=180°．

【解析】解：（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)， ∵∠ACD﹣∠ABD=∠A，
∴∠ACD﹣∠ABD=70°，
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線，
∴∠A1CD﹣∠A1BD= （∠ACD﹣∠ABD）
∴∠A1=35°；
所以答案是：A，70，35；（2）∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A1=80°，
∴∠A1=40°，
同理可得∠A1=2∠A2 ，
即∠BAC=22∠A2=80°，
∴∠A2=20°，
∴∠A=2n∠An ， 即∠An= ∠A，
所以答案是：∠An= ∠A．（3）∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F，
∴360°﹣（α+β）=180°﹣2∠F，
2∠F=∠A+∠D﹣180°，
∴∠F= （∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
所以答案是：25°．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識(shí)，掌握三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，以及對三角形的外角的理解，了解三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．