【題目】△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點D,E分別在AB,BC上,且AD=BE,BD=AC.
(1)如圖1,連DE,求∠BDE的度數(shù);

(2)如圖2,過E作EF⊥AB于F,求證:∠FED=∠CED;

(3)在(2)的條件下,若BF=2,求CE的長.

【答案】
(1)

解:∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴∠A=∠B=45°,

∵AC=BC,BD=AC,

∴BD=BC,

∴∠BCD=∠BDC= =67.5°,

∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣67.5°=22.5°,

在△ADC和△BED中,

,

∴△ADC≌△BED,

∴∠BDE=∠ACD=22.5°


(2)

解:由(1)有∠BDE=22.5°,

∵EF⊥AB,

∴∠BFE=∠DFE=90°,

∴∠DEF=90°﹣∠BDE=67.5°,

由(1)有,△ADC≌△BED,

∴DC=DE,

∴∠DEC=∠BCD=67.5°,

∴∠DEF=∠DEC,

即:∠FED=∠CED


(3)

解:如圖2,

由(1)知CD=DE,

∴∠DCE=∠DEC=67.5°,

∴∠CDE=45°,

過D作DM⊥CE于M,

∴CM=ME= CE,∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5°,

∵EM⊥DM,EF⊥DB,

∴EF=ME,

∵∠BFE=90°,∠B=45°,

∴∠BEF=∠B=45°,

∴EF=BF,

∴CE=2ME=2EF=2BF=4.


【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和SAS可證△BDE≌△ACD,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到∠BDE的度數(shù);(2)先由EF⊥AB和∠BDE=22.5°,求出∠BED,再由(1)結(jié)論推導(dǎo)出∠BCD=∠DEC=67.5°即可.(3)由(1)知CD=DE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得∠CDE=45°,過D作DM⊥CE于M,根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及等量關(guān)系即可得到CE的長
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形三邊關(guān)系的相關(guān)知識,掌握三角形兩邊之和大于第三邊;三角形兩邊之差小于第三邊;不符合定理的三條線段,不能組成三角形的三邊.

練習(xí)冊系列答案
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(1)當(dāng)∠A為70°時, ∵∠ACD﹣∠ABD=∠
∴∠ACD﹣∠ABD=°
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線
∴∠A1CD﹣∠A1BD= (∠ACD﹣∠ABD)
∴∠A1=°;
(2)∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2 , ∠A2BC與A2CD的平分線交于A3 , 如此繼續(xù)下去可得A4、…、An , 請寫出∠A與∠An的數(shù)量關(guān)系
(3)如圖2,四邊形ABCD中,∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角,若∠A+∠D=230度,則∠F=
(4)如圖3,若E為BA延長線上一動點,連EC,∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q,當(dāng)E滑動時有下面兩個結(jié)論:①∠Q+∠A1的值為定值;②∠Q﹣∠A1的值為定值.其中有且只有一個是正確的,請寫出正確的結(jié)論,并求出其值.

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(2)當(dāng)60°<∠BAC<120°,且△ACE與△ABC在直線AC的同側(cè)時,利用圖2畫出圖形探究線段FE,F(xiàn)A,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出你的結(jié)論.

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C.4
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