Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝，AD＝2．點E是BC邊上的一個動點，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．當(dāng)△CDF是等腰三角形時，BE的長為_____．

Answer 1

【答案】1、、2﹣

【解析】

過點C作CM⊥DF，垂足為點M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類討論，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行求解．

①CF＝CD時，過點C作CM⊥DF，垂足為點M，

則CM∥AE，DM＝MF，

延長CM交AD于點G，

∴AG＝GD＝1，

∴CE＝1，

∵CG∥AE，AD∥BC，

∴四邊形AGCE是平行四邊形，

∴CE＝AG＝1，

∴BE＝1

∴當(dāng)BE＝1時，△CDF是等腰三角形；

②DF＝DC時，則DC＝DF＝，

∵DF⊥AE，AD＝2，

∴∠DAE＝45°，

則BE＝，

∴當(dāng)BE＝時，△CDF是等腰三角形；

③FD＝FC時，則點F在CD的垂直平分線上，故F為AE中點．

∵AB＝，BE＝x，

∴AE＝，

AF＝，

∵△ADF∽△EAB，

∴，

，

x2﹣4x+2＝0，

解得：x＝2±，

∴當(dāng)BE＝2﹣時，△CDF是等腰三角形．

綜上，當(dāng)BE＝1、、2﹣時，△CDF是等腰三角形．

故答案為：1、、2﹣．