Question

【題目】我們可用表示以為自變量的函數，如一次函數，可表示為，且，，定義:若存在實數，使成立，則稱為的不動點，例如：，令，得，那么的不動點是1.

（1）已知函數，求的不動點.

（2）函數（是常數）的圖象上存在不動點嗎？若存在，請求出不動點；若不存在，請說明理由；

（3）已知函數（），當時，若一次函數與二次函數的交點為，即兩點的橫坐標是函數的不動點，且兩點關于直線對稱，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1的不動點為0和2；（2）①時，有唯一的不動點②時，有無數個不動點③時，沒有不動點；（3）的取值范圍是

【解析】

（1）根據不動點的性質即可列方程求解；

（2）令，得：，根據m,n的取值進行討論即可求解；

（3）令，則，根據一元二次方程根與系數求出A,B的中點C的坐標，再根據點在直線上，得到，得到b關于a的二次函數，再根據二次函數的性質即可求解.

解：（1）令，則，，

所以的不動點為0和2

（2）令，得：

①若，即時，有唯一的不動點

②若，，即時，有無數個不動點

③若，即時，沒有不動點

（3）令，則

設，，則，

的中點坐標為

，

所以

點在直線上，所以

當時，

此時，恒大于0

所以的取值范圍是