Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，A是 的中點(diǎn)，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長線交于點(diǎn)F、E，且 ．
（1）求證：△ADC∽△EBA；
（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠CDA=∠ABE．

∵ ，

∴∠DCA=∠BAE．

∴△ADC∽△EBA

（2）解：∵A是 的中點(diǎn)，

∴

∴AB=AC=8，

∵△ADC∽△EBA，

∴∠CAD=∠AEC， ，

即 ，

∴AE= ，

∴tan∠CAD=tan∠AEC= = =

【解析】（1）欲證△ADC∽△EBA，只要證明兩個角對應(yīng)相等就可以．可以轉(zhuǎn)化為證明且 就可以；（2）A是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則AC=AB=8，根據(jù)△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，求得AE，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義就可以求出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．