Question

在直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD上點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為    ；若以C為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A₁，則A₁的坐標(biāo)為    ；再以A₁為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，得到點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C₁，若重復(fù)以上操作，則點(diǎn)A₅的坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)AB和AC之間的距離，可將點(diǎn)A的坐標(biāo)求出，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，可將A，C所在的直線方程求出，分別以C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅為中心將正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，則上述10個點(diǎn)總在AC所在的直線方程上，根據(jù)所求的點(diǎn)到點(diǎn)C的距離，列出方程，可進(jìn)行求解．
解答：解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（c，d），
∵正方形ABCD上點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），
∴正方形ABCD的邊長為=，對角線AC=，
∴，解得：c=3，d=-3；
，解得：a=1，b=4．
故AC所在直線方程為：y=-3x+7，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-3）．
（1）若以C為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A₁，
則A1C=，設(shè)A₁點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則（x-2）²+（-3x+7-1）²=（）²，解得：x=3，x=1（舍去），
∴y=-3×3+7=-2，
∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3，-2）；

（2）再以A₁為中心，把正方形ABCD按順時針旋轉(zhuǎn)180°后，得到點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C₁，若重復(fù)以上操作，則點(diǎn)C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅都在AC所在的直線方程上，A₅C=9，
設(shè)A5的坐標(biāo)為（u，v），則（u-2）²+（-3u+7-1）²=（）²，解得：u=11，u=-7（舍去），
∴v=-3×11+7=-26，
∴點(diǎn)A5的坐標(biāo)為（11，-26）．
點(diǎn)評：本題將一個圖形的旋轉(zhuǎn)放在坐標(biāo)系中來考查，是一道考查數(shù)與形結(jié)合的好試題，也為高中后續(xù)學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊．從考試情況看，還有非常多考生沒完全理解旋轉(zhuǎn)的三大要素即中心、方向、角度，故失分的較多．本題綜合考查學(xué)生旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)知識．