Question

在正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，BE⊥PD的延長線于點(diǎn)E，連接AE、BE、FA⊥AE交DP于點(diǎn)F，連接BF，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①△ABE≌△ADF；  ②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF  
其中正確的是（ ）

A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，證△ABE≌△ADF即可；取EF的中點(diǎn)M，連接AM，推出AM=MF=EM=DF，證∠AMB=∠AMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
解答：解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=∠90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正確；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中點(diǎn)M，連接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠AMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正確；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正確；④正確；
故選D．
點(diǎn)評：本題主要考查對正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．