Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連結(jié)對(duì)角線AC，以AC為邊作第一個(gè)菱形ACC₁D₁，使∠D₁ AC=60°；連結(jié)AC₁，再以AC₁為邊作第二個(gè)菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，再以AC₂為邊作第三個(gè)菱形AC₂C₃D₃，使∠D₃AC₂=60°；…，依此類推．
（1）求第一個(gè)菱形ACC₁D₁的邊AD₁長(zhǎng)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）求第三個(gè)菱形AC₂C₃D₃的邊AD₃長(zhǎng)是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）按此規(guī)律請(qǐng)直接寫出第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，與AC相交于O，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BAC=30°，然后解直角三角形求出AO，即可得到第一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)；
（2）同理求出第二個(gè)菱形的邊長(zhǎng)，第三個(gè)菱形的邊長(zhǎng)；
（3）根據(jù)求解，后一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)菱形的對(duì)角線，即后一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)的倍，寫出即可．
解答：解：（1）如圖，連接BD，與AC相交于O，
則AC⊥BD，AC=2AO，
∵∠DAB=60°，
∴∠BAC=∠DAB=×60°=30°，
∵AB=1，
∴AO=1×=，
∴AC=2AO=2×=，
故第一個(gè)菱形ACC₁D₁的邊AD₁長(zhǎng)是；

（2）同理可求，第二個(gè)菱形AC₁C₂D₂的邊AD₂長(zhǎng)是×=3，
第三個(gè)菱形AC₂C₃D₃的邊AD₃長(zhǎng)是3；

（3）第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是（）ⁿ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．