Question

如圖，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC內一點M滿足∠AMC=120°，若直線BA與CM交于點P，直線BC與AM交于點Q，求證：P，D，Q三點共線．

Answer 1

分析：求證：P，D，Q三點共線就是證明平角的問題，可以求證∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根據(jù)△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；進而證明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，則結論可證．

解答：證明：連接PD，DQ，
由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，
∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．
∴

PA

AM

=

AC

MC

，

AC

AM

=

QC

MC

．
∴AC²=PA•QC，又AC=AD=DC．
∴

PA

DC

=

AD

QC

，又∠PAD=∠DCQ=60°，
∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．
∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，
∴P，D，Q三點共線．

點評：本題是證明三點共線的問題，這類題目可以轉化為求證平角的問題．并且本題利用相似三角形的性質，對應角相等．