Question

【題目】如圖所示，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在OA邊上的點(diǎn)E處，分別以OC，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．

（1）求OE的長．

（2）求經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（3）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿EC以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，DP=DQ．

（4）若點(diǎn)N在（2）中的拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使得以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）t=；（4）存在，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,16）或（-6,16）或

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)可求得CE、CO的長，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE的長；
（2）設(shè)AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程可求得m的值，從而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合C、O兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（3）用含t的式子表示出BP、EQ的長，可證明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；

（4）由（2）可知C（-4，0），E（0，-3），設(shè)N（-2，n），M（m，y），分以下三種情況：①以EN為對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角線互相平分，可得CM的中點(diǎn)與EN的中點(diǎn)重合，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；②當(dāng)EM為對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角線互相平分，可得CN的中點(diǎn)與EM的中點(diǎn)重合，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；③當(dāng)CE為對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角線互相平分，可得CE的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)重合，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解：（1）∵OABC為矩形，∴BC=AO=5，CO=AB=4．

又由折疊可知，，

；

（2）設(shè)AD=m，則DE=BD=4-m，
∵OE=3，∴AE=5-3=2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴m2+22=(4-m)2，∴m=，∴D，

∵該拋物線經(jīng)過C(-4，0）、O（0，0），

∴設(shè)該拋物線解析式為，

把點(diǎn)D代入上式得，

∴a=，

∴；

（3）如圖所示，連接DP、DQ．由題意可得，CP=2t，EQ=t，則BP=5-2t．

當(dāng)DP=DQ時(shí)，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

，

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），∴BP=EQ，

∴5-2t=t，∴t=．

故當(dāng)t=時(shí)，DP=DQ；

（4）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x==-2，
∴設(shè)N（-2，n），
又由（2）可知C（-4，0），E（0，-3），設(shè)M（m，y），
①當(dāng)EN為對(duì)角線，即四邊形ECNM是平行四邊形時(shí)，如圖1，

則線段EN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=-1，線段CM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
∵EN，CM互相平分，
∴=-1，解得m=2，
又M點(diǎn)在拋物線上，
∴y=×22+×2=16，
∴M（2，16）；
②當(dāng)EM為對(duì)角線，即四邊形ECMN是平行四邊形時(shí)，如圖2，

則線段EM的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，線段CN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

∵EM，CN互相平分，
∴m=-3，解得m=-6，
又∵M點(diǎn)在拋物線上，

，

∴M（-6，16）；
③當(dāng)CE為對(duì)角線，即四邊形EMCN是平行四邊形時(shí)，如圖3，

線段CE的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為=-2，線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∵CE與MN互相平分，∴，

解得m=-2，
當(dāng)m=-2時(shí)，y=，

即M．

綜上可知，存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，16）或（-6，16）或．