【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸交于點(diǎn)O、M.對稱軸為直線x=2,以O(shè)M為直徑作圓A,以O(shè)M的長為邊長作菱形ABCD,且點(diǎn)B、C在第四象限,點(diǎn)C在拋物線對稱軸上,點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上;

(1)求證:4a+b=0;

(2)若圓A與線段AB的交點(diǎn)為E,試判斷直線DE與圓A的位置關(guān)系,并說明你的理由;

(3)若拋物線頂點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部且OPM為銳角時,求a的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)DE與圓A相切;(3)

【解析】

試題分析:(1)由題意可知(4,0),由拋物線經(jīng)過點(diǎn)O可求得c=0,將c=0,x=4,y=0代入拋物線的解析式可證得:4a+b=0;

(2)如圖1所示:由菱形的性質(zhì)可知:DN=NB,DNAN,由OM=AD=AB,可證明AD=AB=DB,由AE=2可知AE=EB,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AEDE,從而可證明DE與圓A相切;

(3)如圖2所示.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,m).由題意可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,2),設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x﹣4),將x=2代入得y=﹣4a即m=﹣4a.由OPM為銳角且拋物線的頂點(diǎn)在菱形的內(nèi)部可知﹣4a<﹣2、﹣4a>﹣4,從而可求得a的取值范圍.

解:(1)O的坐標(biāo)為(0,0),拋物線的對稱軸為x=2,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,0).

拋物線經(jīng)過點(diǎn)O,

c=0

將c=0,x=4,y=0代入拋物線的解析式得:16a+4b=0.

整理得:4a+b=0.

(2)DE與圓A相切.

理由:如圖1所示:

四邊形ABCD為菱形,

DN=NB,DNAN

∵∠AOD=AON=DNA=90°,

四邊形OAND為矩形.

OA=DN=2

DB=OM=4

OM=AD=AB,

AD=AB=DB

AE為圓A的半徑,

AE=EB=2

AD=DB,AE=EB.

AEDE

DE與圓A相切.

(3)如圖2所示.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,m).

OM為圓A的直徑,

∴∠OEM=90°

AE=2,OA=2,

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2,2).

設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x﹣4),將x=2代入得y=﹣4a.

m=﹣4a.

∵∠OPM為銳角,

點(diǎn)P在點(diǎn)E的下方.

﹣4a<﹣2.

解得:a>

在RtAOD中,OD==2

AC=4

點(diǎn)P在菱形的內(nèi)部,

點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方.

﹣4a>﹣4

解得:a<

a的取值范圍是

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(1)求AD的長;

(2)當(dāng)點(diǎn)N在O上時,求證:直線MN是O的切線;

(3)以CN為直徑作P,設(shè)BM=x,P的直徑為y,

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;

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