Question

（2012•江岸區(qū)模擬）菱形ABCD兩條對角線相交于點O，
（1）如圖1，點M是BC中點，AM、DM分別交OB、OC于點E、F，連接EF．
求證：EF∥AD；
（2）在（1）的條件下，求△MEF與△AOD的面積比；
（3）如圖2，點M、N是BC的三等分點，AM、DN分別交OB、OC于點E、F，連接EF，當AD⊥DN時，tan∠ODA=

2

．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC∥AD，BC=AD，則BM=MC=

1

2

AD，由BM∥AD，根據(jù)三角形相似的判定方法得到△BME∽△DAE，則

BM

AD

=

ME

AE

=

1

2

，同理得到

CM

AD

=

MF

DF

=

1

2

，即

ME

AE

=

MF

FD

，然后根據(jù)平行線線分線段成比例定理的逆定理得到EF∥AD；
（2）由于EF∥AD，則△MEF∽△MAD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得

S△MEF

S△MAD

=（

ME

MA

）²，利用

ME

AE

=

1

2

得

S△MEF

S△MAD

=

1

9

，而S_△MAD=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×4S_△AOD=2S_△AOD，所以△MEF與△AOD的面積=2：9；
（3）由NC∥AD得到△NCF∽△DAF，則

NC

AD

=

CF

FA

=

1

3

，即FA=3FC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得OA=OC，OA⊥OD，所以O(shè)F=CF，OF=

1

2

OA，易證得Rt△AOD∽Rt△DOF，所以O(shè)A：OD=OD：OF，即OD²=OA•OF，則OD²=OA•

1

2

OA，即OA=

2

OD，在Rt△AOD中，利用正切的定義可求出tan∠ODA的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC∥AD，BC=AD，
∵點M是BC中點，
∴BM=MC=

1

2

AD，
∵BM∥AD，
∴△BME∽△DAE，
∴

BM

AD

=

ME

AE

=

1

2

，
∵CM∥AD，
∴△CMF∽△ADF，
∴

CM

AD

=

MF

DF

=

1

2

，
∴

ME

AE

=

MF

FD

，
∴EF∥AD；

（2）∵EF∥AD，
∴△MEF∽△MAD，
∴

S△MEF

S△MAD

=（

ME

MA

）²，
∵

ME

AE

=

1

2

，
∴

ME

MA

=

1

3

，
∴

S△MEF

S△MAD

=

1

9

，
∵S_△MAD=

1

2

S_菱形ABCD=

1

2

×4S_△AOD=2S_△AOD，
∴△MEF與△AOD的面積=2：9；

（3）∵點M、N是BC的三等分點，
∴NC=

1

3

BC=

1

3

AD，
∵NC∥AD，
∴△NCF∽△DAF，
∴

NC

AD

=

CF

FA

=

1

3

，即FA=3FC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴OA=OC，OA⊥OD，即∠AOD=90°，
∴OF=CF，OF=

1

2

OA，
∵AD⊥DN，
∴∠ADF=90°，
∴Rt△AOD∽Rt△DOF，
∴OA：OD=OD：OF，即OD²=OA•OF，
∴OD²=OA•

1

2

OA，
即OA=

2

OD，
在Rt△AOD中，tan∠ODA=

OA

OD

=

2

．
故答案為

2

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行線線分線段成比例定理及其逆定理；會運用三角形相似的判定與性質(zhì)進行幾何計算．