Question

如圖，AB是⊙0的直徑，C是⊙0上的一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直線MN與⊙0的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半徑．

Answer 1

考點：

切線的判定；解直角三角形．

分析：

（1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據(jù)切線的判定推出即可；

（2）求出AD、AB長，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長即可．

解答：

解：（1）直線MN與⊙0的位置關(guān)系是相切，

理由是：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN，

∵OC為半徑，

∴MN是⊙O切線；

（2）∵CD=6，cos∠ACD==，

∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，

∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴AB=12.5，

∴⊙O半徑是×12.5=6.25．

點評：

本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力．