Question

問(wèn)題提出：我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問(wèn)題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所謂“作差法”：就是通過(guò)作差、變形，并利用差的符號(hào)確定他們的大小，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M-N，若M-N＞0，則M＞N；若M-N=0，則M=N；若M-N＜0，則M＜N。
問(wèn)題解決：如圖1，把邊長(zhǎng)為a+b（a≠b）的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形，試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和N的大小。
解：由圖可知：M=a²+b²，N=2ab，
∴M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²，
∵a≠b，
∴（a-b）²＞0，
∴M-N＞0，
∴M＞N。

類別應(yīng)用：
（1）已知小麗和小穎購(gòu)買同一種商品的平均價(jià)格分別為元/千克和元/千克（a、b是正數(shù)，且a≠b），試比較小麗和小穎所購(gòu)買商品的平均價(jià)格的高低。
（2）試比較圖2和圖3中兩個(gè)矩形周長(zhǎng)M₁、N₁的大�。╞＞c）。

聯(lián)系拓廣：小剛在超市里買了一些物品，用一個(gè)長(zhǎng)方體的箱子“打包”，這個(gè)箱子的尺寸如圖4所示（其中b＞a＞c＞0），售貨員分別可按圖5、圖6、圖7三種方法進(jìn)行捆綁，問(wèn)哪種方法用繩最短？哪種方法用繩最長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：類別應(yīng)用：（1），
∵a，b是正整數(shù)且a≠b，
∴，
∴，
∴小麗購(gòu)買商品的平均價(jià)格比小穎的高；
（2）由圖知，M₁=2（a+b+b+c）=2a+4b+2c，
N₁=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，
M₁-N₁=（2a+4b+2c）-（2a+2b+4c）=2b-2c=2（b-c）
∵b＞c，
∴M₁-N₁=2（b-c）＞0，即M₁＞N₁，
所以第一個(gè)矩形的周長(zhǎng)大于第二個(gè)矩形的周長(zhǎng)；
聯(lián)系拓廣：設(shè)圖5的捆綁繩長(zhǎng)為，則=2a×2b+2×2+4c×2=4a+4b+8c
設(shè)圖6的捆綁繩長(zhǎng)為，則=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c
設(shè)圖7的捆綁繩長(zhǎng)為，則=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c
∵-=（4a+4b+8c）-（4a+4b+4c）=4c＞0，
∴＞，
∵-=（6a+4b+6c）-（4a+4b+8c）=2a-2c＞0，
=2（a-c）＞0，（∵已知a＞c）
∴＞，
∴＞＞，
所以第三種捆綁方法用繩最長(zhǎng)，第二種最短。