【問(wèn)題提出】我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問(wèn)題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過(guò)作差、變形,并利用差的符號(hào)確定他們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.

【問(wèn)題解決】如圖1,把邊長(zhǎng)為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形,試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和N的大。

解:由圖可知:,

∵a≠b,∴>0.

∴M-N>0.∴M>N.

【類比應(yīng)用】(1)已知:多項(xiàng)式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .

試比較M與N的大。

(2)已知:如圖2,銳角△ABC (其中BC為a ,AC為 b,

AB為c)三邊滿足a <b < c ,現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長(zhǎng)方形,

使得△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為長(zhǎng)方形的兩個(gè)端點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落

在長(zhǎng)方形的這一邊的對(duì)邊上。

 

①這樣的長(zhǎng)方形可以畫     個(gè);

②所畫的長(zhǎng)方形中哪個(gè)周長(zhǎng)最?為什么?

【拓展延伸】 已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a <b < c ,畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上,G、H分別在邊AC、AB上,同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形,問(wèn)哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大?為什么?

 

【答案】

1)(2)①3

②以最短邊為邊所畫的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)最。

【解析】

試題分析:1)∵

(2) ①3

②以最短邊為邊所畫的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)最小.

理由如下:設(shè)的面積為,三個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分別為,,,易得三個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等,均為,,,

,∴,∴

,∴,于是,∴,即

同理

所以

拓展延伸:

邊上的內(nèi)接正方形面積最大.

理由:設(shè)邊上的內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為

,得,解得

由上題得最小,且(定值)

∴此時(shí)為最大.

邊上的內(nèi)接正方形面積最大.

考點(diǎn):幾何面積

點(diǎn)評(píng):本題難度較大,主要考查學(xué)生是否能夠結(jié)合類比應(yīng)用所給示例歸納規(guī)律解題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

問(wèn)題提出
我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小,而解決問(wèn)題的策略一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所謂“作差法”:就是通過(guò)作差、變形,并利用差的符號(hào)確定他們的大小,即要比較代數(shù)式M、N的大小,只要作出它們的差M-N,若M-N>0,則M>N;若M-N=0,則M=N;若M-N<0,則M<N.
問(wèn)題解決
如圖1,把邊長(zhǎng)為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形,試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和N的大。

解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
類比應(yīng)用
【小題1】已知:多項(xiàng)式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a.試比較M與N的大小.
【小題2】已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊
滿足a <b < c ,現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長(zhǎng)方形,使得△ABC的兩個(gè)頂
點(diǎn)為長(zhǎng)方形的兩個(gè)端點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在長(zhǎng)方形的這一邊的對(duì)邊上。                     
①這樣的長(zhǎng)方形可以畫       個(gè);
②所畫的長(zhǎng)方形中哪個(gè)周長(zhǎng)最?為什么?

拓展延伸                                                                                               
已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a <b < c ,畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上,G、H分別在邊AC、AB上,同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形,問(wèn)哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大?為什么?

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問(wèn)題提出
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問(wèn)題解決
如圖1,把邊長(zhǎng)為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形,試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和N的大。

解:由圖可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
類比應(yīng)用
【小題1】已知:多項(xiàng)式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a.試比較M與N的大。
【小題2】已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊
滿足a <b < c ,現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長(zhǎng)方形,使得△ABC的兩個(gè)頂
點(diǎn)為長(zhǎng)方形的兩個(gè)端點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在長(zhǎng)方形的這一邊的對(duì)邊上。                     
①這樣的長(zhǎng)方形可以畫       個(gè);
②所畫的長(zhǎng)方形中哪個(gè)周長(zhǎng)最?為什么?

拓展延伸                                                                                               
已知:如圖,銳角△ABC (其中BC為a,AC為b,AB為c)三邊滿足a <b < c ,畫其BC邊上的內(nèi)接正方形EFGH , 使E、F兩點(diǎn)在邊BC上,G、H分別在邊AC、AB上,同樣還可畫AC、AB邊上的內(nèi)接正方形,問(wèn)哪條邊上的內(nèi)接正方形面積最大?為什么?

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【問(wèn)題解決】如圖1,把邊長(zhǎng)為a+b(a≠b)的大正方形分割成兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是a、b的小正方形及兩個(gè)矩形,試比較兩個(gè)小正方形面積之和M與兩個(gè)矩形面積之和N的大。

解:由圖可知:

∵a≠b,∴>0.
∴M-N>0.∴M>N.
【類比應(yīng)用】(1)已知:多項(xiàng)式M =2a2-a+1 ,N =a2-2a .
試比較M與N的大。
(2)已知:如圖2,銳角△ABC (其中BC為a ,AC為 b,
AB為c)三邊滿足a <b < c ,現(xiàn)將△ABC 補(bǔ)成長(zhǎng)方形,
使得△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為長(zhǎng)方形的兩個(gè)端點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落
在長(zhǎng)方形的這一邊的對(duì)邊上。
 
①這樣的長(zhǎng)方形可以畫     個(gè);
②所畫的長(zhǎng)方形中哪個(gè)周長(zhǎng)最小?為什么?
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