Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB邊上的一點(diǎn)，以O(shè)B為半徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，與AB和BC交于點(diǎn)D、H．連接EH、DE，延長(zhǎng)DE，BC交于點(diǎn)F．
求證：DE=EH=EF．

Answer 1

分析 連接OE，BE．由△ODE∽△BDF，推出$\frac{DO}{DB}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，推出DE=EF，再證明BE垂直平分DF，推出BD=BF，∠BDF=∠BFD，由四邊形BDEH是⊙O的內(nèi)接四邊形，推出∠EHF=∠BDF，推出∠EHF=∠BFD，推出EH=EF，由此即可證明．

解答 解：連接OE，BE．

∵CA是⊙O的切線，
∴∠OEA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠DOE=∠DBF，∠DEO=∠DFB，
∴△ODE∽△BDF，
∴$\frac{DO}{DB}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=EF，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°，
∴BE垂直平分DF，
∴BD=BF，
∴∠BDF=∠BFD，
∵四邊形BDEH是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠EHF=∠BDF，
∠EHF=∠BFD，
∴EH=EF，
∴DE=EH=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．也可以，連接DH，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)也可以證明