Question

已知Rt△ABC的兩直角邊AC=5，BC=12，D是BC上一點(diǎn)．當(dāng)AD是∠A的平分線時(shí)，則CD=________．

Answer 1

分析：由題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，過(guò)D作DE于AB垂直，垂足為E，由AD為角平分線，利用角平分線定理得到DC=DE，再由AD為公共邊，利用HL可得直角三角形ADC與直角三角形ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AC，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由BE=AB-AE=AB-AC，求出BE的長(zhǎng)，設(shè)CD=DE=x，則有DB=BC-x=12-x，在直角三角形DEB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而得到CD的長(zhǎng)．
解答：解：根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，如圖所示，
過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于點(diǎn)E，
∵AD為∠A的平分線，ED⊥AB，DC⊥AC，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=5，
在Rt△ABC中，由AC=5，BC=12，
根據(jù)勾股定理得：AB==13，
∴EB=AB-AE=AB-AC=13-5=8，
設(shè)CD=DE=x，BD=12-x，
在Rt△BDE中，利用勾股定理得：DE²+EB²=DB²，
即x²+8²=（12-x）²，解得x=，
則CD=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，在出現(xiàn)角平分線時(shí)，常常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等來(lái)解決問(wèn)題．根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用勾股定理列出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵．