Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與邊AC交于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．

（1）證明：DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑R=5，tanA=，求線段CD的長．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出OD⊥DE，進而得出答案；

（2）得出△BCD∽△ACB，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出CD的長．

試題解析：（1）連接OD．∵OA=OD，∴∠ODA=∠A，又∵∠BDE=∠A，∴∠ODA=∠BDE，∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB=90°，即∠ODA+∠ODB=90°，∴∠BDE+∠ODB=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；

（2）∵R=5，∴AB=10，在Rt△ABC中，∵tanA=，∴BC= AB·tanA=10×=，∴AC=，∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，

∴，∴．

考點：1．切線的判定；2．勾股定理；3．相似三角形的判定與性質(zhì)．