Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t=2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，可分別計(jì)算出BP、BQ的長(zhǎng)，再對(duì)△BPQ的形狀進(jìn)行判斷；
（2）∠B為60°特殊角，過(guò)Q作QE⊥AB，垂足為E，則BQ、BP、高EQ的長(zhǎng)可用t表示，S與t的函數(shù)關(guān)系式也可求；
（3）由題目線段的長(zhǎng)度可證得△CRQ為等邊三角形，進(jìn)而得出四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．

解答：解：（1）△BPQ是等邊三角形
當(dāng)t=2時(shí)
AP=2×1=2，BQ=2×2=4
∴BP=AB-AP=6-2=4
∴BQ=BP
又∵∠B=60°
∴△BPQ是等邊三角形；

（2）過(guò)Q作QE⊥AB，垂足為E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=

3

t
由AP=t，得PB=6-t
∴S_△BPQ=

1

2

×BP×QE=

1

2

（6-t）×

3

t=-

3

2

t2+3

3

t
∴S=-

3

2

t2+3

3

t；

（3）∵QR∥BA
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形
∴QR=RC=QC=6-2t
∵BE=BQ•cos60°=

1

2

×2t=t
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t
∴EP∥QR，EP=QR
∴四邊形EPRQ是平行四邊形
∴PR=EQ=

3

t
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°
∴tan60°=

QR

PR

即

6-2t

3 t

=

3

解得t=

6

5

∴當(dāng)t=

6

5

時(shí)，△APR∽△PRQ．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形相似、移動(dòng)的特征、解直角三角形、函數(shù)等知識(shí)．難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問(wèn)題的精神．