Question

如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D 作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=3，DE=2，BD=12，設(shè)CD=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長為______；
（2）當(dāng)AC+CE的值最小時(shí)，最小值為______；
（3）仿照（1）（2）中的方法，構(gòu)造圖形并求出代數(shù)式 的最小值．（圖中的線段標(biāo)出必要的數(shù)和字母）

Answer 1

解：（1）AC+CE=+=+，即AC+CE=+；
故填：+；

（2）當(dāng)點(diǎn)C是AE和BD交點(diǎn)時(shí)，AC+CE的值最小．
如圖1所示，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD．
AE===13．
故填：13；

（3）如圖2所示，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，
DB=24，連接AE交BD于點(diǎn)C，
∵AE=AC+CE=，
∴AE的長即為代數(shù)式 的最小值．
過點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，
則AB=DF=3，AF=BD=12．
所以AE===25，即AE的最小值是25．
所以代數(shù)式 的最小值為25．
分析：1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=24，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值就是代數(shù)式 的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查最短路線問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．