Question

如圖，直線BE交x軸正半軸于點B（a，0），交y軸正半軸于點E（0，b），且a、b滿足

a-4

+|4-b|=0，點A為BE的中點，
（1）寫出A點坐標為

（2，2）

；
（2）如圖，若C為線段OB上一點，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連BD，求證：OA∥BD；
（3）如圖，P為x軸上B點右側(cè)任意一點，以EP為邊作等腰Rt△EPM，其中PE=PM，直線MB交y軸點Q，當(dāng)點P在x軸上運動時，線段OQ的長是否發(fā)生變化？若不變；求其值；若變化，求線段OQ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意知a=4，b=4，得出△EOB為等腰直角三角形，又有A為EA的中點，得出點A的坐標．
（2）利用等腰直角三角形△ACD求出∠CAB=∠CDB，再利用對頂角相等，從而得出∠ABD=90°=∠OAB，再根據(jù)平行線的判定得出OA∥BD．
（3）利用等腰直角三角形的特點得出∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．又三角形全等的性質(zhì)得出MD=OP，PD=AO=BO，OP=OA+AP=PD+AP=AD，最后得出無論P點怎么動OQ的長不變．

解答：解：（1）∵

a-4

+

.

b-4

.

=0
∴a=4，b=4，
∴△EOB為等腰直角三角形．
∴點A的坐標為（2，2），
故答案為（2，2）；

（2）∵以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，
∴∠CAB+∠BAD=45°，∠CDB+∠BAD+∠ADC=90°，
∴∠CAB=∠CDB，
∴∠ABD=90°=∠OAB，
∴OA∥BD；

（3）過M作MD⊥x軸，垂足為D．
∵∠EPM=90°，
∴∠EPO+MPD=90°．
∵∠QOB=∠MDP=90°，
∴∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．
在△PEO和△MPD中，

∠EPO=∠PMD ∠PEO=∠MPD EP=MP

∴△PEO≌△MPD，
MD=OP，PD=AO=BO，
OP=OA+AP=PD+AP=AD，
∴MD=AD，∠MAD=45°．
∵∠BAO=45°，
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴無論P點怎么動OQ的長不變．

點評：本題考查了絕對值的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性比較強，難度中等．