已知:如圖,正△ABC的邊長(zhǎng)為a,D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),延長(zhǎng)AB至E,使BE=CD,連接DE,精英家教網(wǎng)交BC于點(diǎn)P.
(1)求證:DP=PE;
(2)若D為AC的中點(diǎn),求BP的長(zhǎng).
分析:(1)過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB,構(gòu)造三角形全等,可證得△CDF為等邊三角形,得到DF=BE,可由AAS證得△DFP≌△EBP?DP=EP;
(2)若D為AC的中點(diǎn),則DF是△ABC的中位線(xiàn),有BF=
1
2
BC=
1
2
a,點(diǎn)P是BF的中點(diǎn),得到BP=
1
2
BF=
1
4
a.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB,交BC于F.
∵△ABC為正三角形,
∴∠CDF=∠A=60°.
∴△CDF為正三角形.
∴DF=CD.
又BE=CD,
∴BE=DF.
又DF∥AB,
∴∠PEB=∠PDF.
∵在△DFP和△EBP中,
∠BPE=∠FPD
∠PEB=∠PDF
BE=FD

∴△DFP≌△EBP(AAS).
∴DP=PE.

(2)解:由(1)得△DFP≌△EBP,可得FP=BP.
∵D為AC中點(diǎn),DF∥AB,
∴BF=
1
2
BC=
1
2
a.
∴BP=
1
2
BF=
1
4
a.
點(diǎn)評(píng):本題利用了等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求證:DP=PE;
(2)若D為AC的中點(diǎn),求BP的長(zhǎng).

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交BC于點(diǎn)P.
(1)求證:DP=PE;
(2)若D為AC的中點(diǎn),求BP的長(zhǎng).

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(1)求證:DP=PE;
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