Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=4,OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),連接DP、DA．

（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求t為何值時(shí),△DPA的面積最大,最大為多少？
（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中,△DPA能否成為直角三角形？若能,求t的值．
若不能,請(qǐng)說明理由；
（4）請(qǐng)直接寫出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長．

Answer 1

（1）D坐標(biāo)為（t+1,）；（2）當(dāng)t=2時(shí),△DPA的面積最大,最大值為1；（3）經(jīng)過2秒或3秒時(shí),△PAD是直角三角形；(4)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長為．

試題分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),再求出CP的中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)相似的性質(zhì)即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意求出△DPA的面積,分析函數(shù)解析式求出最值；
（3）先判斷出可能為直角的角,再根據(jù)勾股定理求解；
（4）根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等解答即可．
試題解析：（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿x軸以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),
∴OP=t,而OC=2,
∴P（t,0）,
設(shè)CP的中點(diǎn)為F,則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（,1）,
∴將線段CP的中點(diǎn)F繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,其坐標(biāo)為（t+1,）；
（2）S=  
∴當(dāng)t=2時(shí),S最大,最大值為1
（3）∵∠CPD=90⁰,∴∠DPA+∠CPO=90⁰,∴∠DPA≠90⁰,故有以下兩種情況：
①當(dāng)∠PDA=90⁰時(shí),由勾股定理得,
又,,
, 
即,解得（不合題意,舍去）
②當(dāng)∠PAD=90⁰時(shí),點(diǎn)D在BA上,故AE=3－t,得t=3
綜上,經(jīng)過2秒或3秒時(shí),△PAD是直角三角形；
（4）∵根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線與OB平行且相等,OB=,
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長為．