Question

如圖，在⊙O中，直徑AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．
（1）試猜想：△PCQ與△ACB具有何種關(guān)系？（不要求證明）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC≌△PCB，并給出證明．

Answer 1

解：（1）△PCQ∽△ACB；
理由：∵CP⊥CQ，AB是⊙O的直徑，
∴∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠A=∠P，
∴△PCQ∽△ACB；

（2）當(dāng)PC過(guò)圓心時(shí)，△ABC≌△PCB．（4分）
證明：∵PC和AB都是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠PBC=90°，（5分）
且AB=PC，（6分）
又∠A=∠P．（7分）
∴△ABC≌△PCB．（8分）
分析：（1）由CP⊥CQ，AB是⊙O的直徑，易得∠PCQ=∠ACB=90°，又由同弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△PCQ∽△ACB；
（2）由△PCQ∽△ACB，只要AB=PC即可，又由AB是直徑，則可得當(dāng)PC過(guò)圓心時(shí)，△ABC≌△PCB．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．