Question

如圖所示，在△ABC的大邊AB上取AN=AC，BM=BC，點P為△ABC的內(nèi)心，求證：∠MPN=∠A+∠B．

Answer 1

證明：連接PA、PB、PC及PM、PN．
由已知易證△APC≌△APN，△BPC≌△BPM．從而PC=PN，PC=PM，即PM=PN=PC．
故P為△CMN的內(nèi)心，此時有∠MPN=2∠MCN．
而∠ACN=90°-∠A，∠BCM=90°-∠B，
故∠ACN+∠BCM=180°-（∠A+∠B），
即∠MCN+∠ACB=180°-（∠A+∠B），
則∠MCN=（180°-∠ACB）-（∠A+∠B）=（∠A+∠B）．
故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠B．
分析：連接PA、PB、PC及PM、PN．由已知易證△APC≌△APN，△BPC≌△BPM．由P為△CMN的內(nèi)心，此時有∠MPN=2∠MCN．從而得出2∠MCN=∠A+∠B．即∠MPN=∠A+∠B．
點評：本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)．