Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦（非直徑）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APC與∠APD的關(guān)系如何？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APC與∠APD的關(guān)系如何？請(qǐng)證明你的結(jié)論（不要求討論P(yáng)點(diǎn)與A點(diǎn)重合的情形）

Answer 1

解：∵弦CD⊥AB，AB是直徑，
∴弧AC=弧AD；
∴∠APC=∠APD，
（2）∠APC+∠APD=180°，
由垂徑定理可知=，
∴∠APD=∠ADC，
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠APC+∠ADC=180°，
∴∠APC+∠APD=180°（如圖中虛線所示）．
分析：由垂徑定理知：弧AC=弧AD；當(dāng)P在劣弧CD上時(shí)，∠APC和∠APD所對(duì)的是等弧，因此它們相等；
當(dāng)P在優(yōu)弧CD上時(shí)，它們所對(duì)的弧正好構(gòu)成整個(gè)圓周，即兩段弧所對(duì)圓心角的度數(shù)和為360°，根據(jù)圓周角定理即可得出∠APD+∠APC=180°．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是垂徑定理、圓周角定理及圓心角、弧的關(guān)系．