Question

如圖，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△OA′B′，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求A′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過C，A′，A三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知，∠A′OA的度數(shù)和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)相同，可過A′作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中可根據(jù)OA′的長和∠A′OA的度數(shù)求出A′的坐標(biāo)；
（2）已知了C，A′，A三點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①以O(shè)為直角頂點(diǎn)，OA=OP=4，而OC=4，那么此時(shí)C點(diǎn)和P點(diǎn)重合，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)即為C點(diǎn)的坐標(biāo)．
②以A為直角頂點(diǎn)，那么P點(diǎn)的坐標(biāo)必為（4，4）或（4，-4）．可將這兩個(gè)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中判定其是否在拋物線上即可．
③以P為直角頂點(diǎn)，那么P點(diǎn)在OA的垂直平分線上，且P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）或（2，-2）然后按②的方法進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）過點(diǎn)A′作A′D垂直于x軸，垂足為D，則四邊形OB′A′D為矩形．
在△A′DO中，A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2，
OD=A′B′=AB=2，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，2）；

（2）∵C（0，4）在拋物線上，
∴c=4，
∴y=ax²+bx+4，
∵A（4，0），A′（2，2），在拋物線y=ax²+bx+4上，
∴，
解之得，
∴所求解析式為y=+（2-3）x+4；

（3）①若以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，由于OC=OA=4，點(diǎn)C在拋物線上，則點(diǎn)P（0，4）為滿足條件的點(diǎn)．
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則使△PAO為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為（4，4）或（4，-4），代入拋物線解析式中 知此兩點(diǎn)不在拋物線上．
③若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則使△PAO為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為（2，2）或（2，-2），代入拋物線解析式中 知此兩點(diǎn)不在拋物線上．
綜上述在拋物線上只有一點(diǎn)P（0，4）使△OAP為等腰直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、等腰直角三角形的構(gòu)成情況等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．