Question

提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？

探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：
（1）當AP=AD時（如圖②）：
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP= S△_ABD，
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA，
_∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC；
（2）當AP=AD時，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系，寫出求解過程；
（3）當AP=AD時，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系式為_{：__________；}
（4）一般地，當AP=AD（n表示正整數(shù)）時，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系，寫出求解過程；問題解決：當AP=AD（0≤≤1）時，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系式為：________。

Answer 1

解：（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP= S_△ABD，
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA，
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=S_△DBC+S_△ABC，
∴S△PBC= S△DBC+ S△ABC
（3）S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC；
（4）S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=S△_ABD，
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-S_△ABD-S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=S△DBC+S△ABC，
∴S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC
問題解決：S_△PBC=S_△DBC+S_△ABC。