Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作直線DE垂直BC于F，且交BA的延長線于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若cos∠BAC=，⊙O的半徑為6，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)4.

【解析】

試題(1)連接OD，OB，根據AB為直角得到∠ADB=90°，根據AB=BC，D為中點得到OD為中位線，根據中位線的性質得出∠ODE=90°；(2)根據半徑得到AB=12，根據Rt△ABD中∠BAC的余弦值得出AD，根據中線的性質得出答案.

試題解析：（1）直線DE與⊙O相切。

理由：

連接BD、OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∵BA=BC，∴D為AC中點，又O是AB中點，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥BC，

∴∠BFE=∠ODE，∵DE⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直線DE是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為6，∴AB=12，在Rt△ABD中，cos∠BAC=∴AD=4，由（1）知BD是△ABC的中線，

∴CD=AD=4