Question

【題目】如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)（不含A，B），過(guò)B，C，E三點(diǎn)的圓與BD相交于點(diǎn)F，與CD相交于點(diǎn)G，與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)H．

（1）求證：四邊形EFCH是正方形；
（2）設(shè)BE=x，△CFG的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵B、H、C、F、E在同一圓上，且∠EBC=90°

∴∠EFC=90°，∠EHC=90°，

又∵∠FBC=∠HBC=45°，

∴CF=CH，

∵∠HBF+∠HCF=180°，

∴∠HCF=90°，

∴四邊形EFCH是正方形

（2）解：∵∠BFG+∠BCG=180°，

∴∠BFG=90°，

由（1）知∠EFC=90°，

∴∠CFG+∠BFC=∠BFE+∠BFC，

∴∠CFG=∠BFE，

∴CG=BE=x，

∴DG=DC﹣CG=1﹣x，

易知△DFG是等腰直角三角形，

∴△CFG中CG邊上的高為 DG= （1﹣x），

∴y= x （1﹣x）=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)x= 時(shí)，y有最大值

【解析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓周角定理，須證三個(gè)角是直角，再證一組鄰邊相等可得出結(jié)論；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得CG=BE=x，△DFG是等腰直角三角形，利用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得△CFG中CG邊上的高為 DG,列出二次函數(shù)關(guān)系式，配成頂點(diǎn)式求出最大值.