【題目】如下圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線ABx軸交于點(diǎn)A,y軸交于點(diǎn)B,與直線OC:y=x交于點(diǎn)C.

(1)若直線AB解析式為.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo);

②根據(jù)圖象,求關(guān)于x的不等式0<-x+10<x的解集;

(2)如下圖,作∠AOC的平分線ON,ABON,垂足為E,ΔOAC的面積為9,且OA=6,P、Q分別為線段OA、OE上的動(dòng)點(diǎn),連接AQPQ,試探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出這個(gè)最小值:若不存在,說明理由.

【答案】(1)C(44) ,②4<x<;(2) AQ+PQ存在最小值,最小值為3.

【解析】

1)①根據(jù)直線AB和直線OC相交于點(diǎn)C,將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立,解方程組即為C(4,4);②先求出A點(diǎn)坐標(biāo),觀察圖像即可得出不等式的解集為4<x<;

2)首先在OC上截取OM=OP,連接MQ,通過SAS定理判定POQ≌△MOQ,從而得出PQ=MQ,進(jìn)行等式變換AQ+PQ=AQ+MQ,,即可判斷當(dāng)A、QM在同一直線上,且AM0C時(shí),AQ+MQ最小,即AQ+PQ存在最小值;再由ASA定理判定AEOΔCEO,最后由OC=OA=6,ΔOAC的面積為9,得出AM=3.

(1)①由題意,

解得:

所以C(44)

②把y=0代入,

解得

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(0),

C4,4),

所以觀察圖像可得:不等式的解集為4<x<;

(2)由題意,在OC上截取OM=OP,連接MQ,

ON平分∠AOC,

∴∠AOQ=COQ,

OQ=OQ.

∴△POQ≌△MOQ(SAS)

PQ=MQ,

AQ+PQ=AQ+MQ,

當(dāng)A、QM在同一直線上,且AMOC時(shí),AQ+MQ最小,

AQ+PQ存在最小值

ABON,所以∠AEO=CEO,

AEOΔCEO(ASA),

OC=OA=6,

ΔOAC的面積為9,

OC·AM=9,

AM=3,

:AQ+PQ存在最小值,最小值為3.

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如圖 2,在等邊ABC 內(nèi)有一點(diǎn) P,且 PA2,PB ,PC1,如果將BPC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得出ABP′,求∠BPC 的度數(shù)和 PP′的長(zhǎng);

3)(靈活運(yùn)用)

如圖 3,將(2)題中在等邊ABC 內(nèi)有一點(diǎn) P 改為在等腰直角三角形 ABC 內(nèi)有一點(diǎn)P”,且 BA=BC,PA6,BP4PC2,求∠BPC 的度數(shù).

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