【題目】(1)(操作發(fā)現(xiàn))
如圖 1,在邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,ABC 的三個頂點均在格點上.現(xiàn)將ABC 繞點 A 按順時針方向旋轉 90°,點 B 的對應點為 B′,點 C 的對應點為 C′, 連接 BB′,如圖所示則∠AB′B= .
(2)(解決問題)
如圖 2,在等邊ABC 內(nèi)有一點 P,且 PA=2,PB= ,PC=1,如果將△BPC 繞點 B 順時針旋轉 60°得出△ABP′,求∠BPC 的度數(shù)和 PP′的長;
(3)(靈活運用)
如圖 3,將(2)題中“在等邊ABC 內(nèi)有一點 P 改為“在等腰直角三角形 ABC 內(nèi)有一點P”,且 BA=BC,PA=6,BP=4,PC=2,求∠BPC 的度數(shù).
【答案】(1)如圖1所示,見解析;45°;(2)∠BPC=150°,PP′=;(3)∠BPC=135°.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉角,旋轉方向畫出圖形即可,只要證明△ABB'是等腰直角三角形即可;
(2)根據(jù)旋轉的性質(zhì),可得△P'PB是等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)即可求出PP'的長;而△PP'A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠AP'B=150°,從而得出結論;
(3)將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB,與(1)類似:可得:∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,求出∠BEP=45°,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AEP=90°,即可得出結論.
如圖1所示,連接BB',將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°,
∴AB=AB',∠B'AB=90°,∴∠AB'B=45°.
故答案為45°;
(2)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,
將△BPC繞點B順時針旋轉60°得出△ABP',如圖2,
∴AP'=CP=1,BP'=BP=,∠PBC=∠P'BA,∠AP'B=∠BPC.
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPP'是等邊三角形,
∴PP'=,∠BP'P=60°.
∵AP'=1,AP=2,
∴AP'2+PP'2=12+()2 =4,AP2=22=4,
∴AP'2+PP'2=AP2,
∴∠AP'P=90°,則△PP'A是直角三角形,
∴∠BPC=∠AP'B=90°+60°=150°;
(3)如圖3,將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB,
與(1)類似:可得:AE=PC=2,BE=BP=4,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,
∴∠BEP=(180°﹣90°)=45°,
由勾股定理得:EP=.
∵AE=2,AP=6,EP=,
∴AE2+PE2=22+2=36 2=62=36,
∴AE2+PE2=AP2,
∴∠AEP=90°,
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A、D、C、F在同一條直線上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求證:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,△ABC和△DEF的頂點都在格點上,P1、P2、P3、P4、P5是△DEF邊上的5個格點,請按要求完成下列各題:
(1)試證明△ABC為直角三角形;
(2)判斷△ABC和△DEF是否相似,并說明理由;
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【題目】已知一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點M(2,3)、N(﹣3,b).
(1)求一次函數(shù)的解析式,并在圖中畫出函數(shù)圖象;
(2)求直線MN與x軸的交點坐標及△MON的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出:當x取何值時,一次函數(shù)的值小于3.
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【題目】如下圖,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸交于點A,與y軸交于點B,與直線OC:y=x交于點C.
(1)若直線AB解析式為.
①求點C的坐標;
②根據(jù)圖象,求關于x的不等式0<-x+10<x的解集;
(2)如下圖,作∠AOC的平分線ON,若AB⊥ON,垂足為E,ΔOAC的面積為9,且OA=6,P、Q分別為線段OA、OE上的動點,連接AQ與PQ,試探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出這個最小值:若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點C.
(1)設Rt△CBD的面積為S1,Rt△BFC的面積為S2,Rt△DCE的面積為S3,則S1__ __S2+S3;(填“>”“=”或“<”)
(2)寫出圖中的三對相似三角形,并選擇其中一對進行證明.
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【題目】為了促進學生多樣化發(fā)展,某校組織開展了社團活動,分別設置了體育類、藝術類、文學類及其它類社團(要求人人參與社團,每人只能選擇一項).為了解學生喜愛哪種社團活動,學校做了一次抽樣調(diào)查.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖, 請根據(jù)圖中提供的信息,完成下列問題:
(1)此次共調(diào)查了 人;
(2)求文學社團在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角為 度;
(3)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(4)若該校有 1500 名學生,請估計喜歡體育類社團的學生有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】圖中是拋物線型拱橋,P處有一照明燈,水面OA寬4m,從O,A兩處觀測P處,仰角分別為α,β,tanα=,tanβ=,以O為原點,OA所在直線為x軸建立直角坐標系.
(1)求點P的坐標;
(2)水面上升1m,水面寬多少(取1.41,結果精確到0.1m)?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明在暗室做小孔成像實驗.如圖1,固定光源(線段MN)發(fā)出的光經(jīng)過小孔(動點K)成像(線段M'N')于足夠長的固定擋板(直線l)上,其中MN// l.已知點K勻速運動,其運動路徑由AB,BC,CD,DA,AC,BD組成.記它的運動時間為x,M'N'的長度為y,若y關于x的函數(shù)圖象大致如圖2所示,則點K的運動路徑可能為( )
A. A→B→C→D→A B. B→C→D→A→B
C. B→C→A→D→B D. D→A→B→C→D
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