Question

任意平方數(shù)除以8余數(shù)為0，1，4（這是平方數(shù)的又一重要特征）．

Answer 1

分析：可以從奇數(shù)和偶數(shù)分別討論證明，（1）由2k+1（奇數(shù)）?（2k+1）²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1（兩個連續(xù)正整數(shù)k，k+1中必有偶數(shù)）?奇數(shù)的平方能表示成8t+1≡1（mod8），（2）由2k（偶數(shù)）?（2k）²=4k²（k為正整數(shù)），①k=偶數(shù)=2t?4k²=16t²≡0（mod8），②k=奇數(shù)=2t+1?4k²=4（2t+1）²=16（t²+t）+4≡4（mod8），得證．

解答：證明：奇數(shù)可以表示為2k+1，從而
奇數(shù)²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1．
因為兩個連續(xù)正整數(shù)k，k+1中必有偶數(shù)，所以4k（k+1）是8的倍數(shù)，從而
奇數(shù)²=8t+1≡1（mod8），
偶數(shù)²=（2k）²=4k²（k為正整數(shù)）．
（1）若k=偶數(shù)=2t，則4k²=16t²≡0（mod8）．
（2）若k=奇數(shù)=2t+1，則4k²=4（2t+1）²=16（t²+t）+4≡4（mod8），
所以，平均數(shù)≡

0(mod8) 1(mod8) 4(mod8)

，
即任意平方數(shù)除以8余數(shù)為0，1，4．

點評：求余數(shù)是同余的基本問題．在這種問題中，先求出與±1同余的數(shù)是一種基本的解題技巧．