Question

【題目】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點C．

（1）當AC＝BC時，如圖1，分別過點A和B作AD⊥直線l于點D，BE⊥直線l于點 E．△ACD與△CBE是否全等，并說明理由；

（2）當AC＝9cm，BC＝6cm時，如圖2，點B與點F關(guān)于直線l對稱，連接BF、CF，點M在AC上，點N是CF上一點，分別過點M、N作MD⊥直線l于點D，NE⊥直線l于點E，點M從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→C路徑運動，終點為C，點N從點F出發(fā)，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路徑運動，終點為F，點M、N同時開始運動，各自達到相應(yīng)的終點時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．

①當△CMN為等腰直角三角形時，求t的值；

②當△MDC與△CEN全等時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）△ACD與△CBE全等，理由見解析；（2）①當t＝秒或秒時，△CMN為等腰直角三角形；②當t＝秒或秒或秒時，△MDC與△CEN全等．

【解析】

（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE;

（2）①分點N沿C→B路徑運動和點N沿B→C路徑運動兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義列出算式，計算即可；②分點N沿F→C路徑運動，點N沿C→B路徑運動，點N沿B→C路徑運動，點N沿C→F路徑運動四種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理列式計算．

（1）△ACD與△CBE全等．理由如下：

∵AD⊥直線l，

∴∠DAC+∠ACD＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BCE+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠ECB，

在△ACD和△CBE中， ，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①由題意得，AM＝t，FN＝3t，

則CM＝8﹣t，

由折疊的性質(zhì)可知，CF＝CB＝6，

∴CN＝6﹣3t，

點N在BC上時，△CMN為等腰直角三角形，

當點N沿C→B路徑運動時，由題意得，9﹣t＝3t﹣6，

解得，t＝，

當點N沿B→C路徑運動時，由題意得，9﹣t＝18﹣3t，

解得，t＝，

綜上所述，當t＝秒或秒時，△CMN為等腰直角三角形；

②由折疊的性質(zhì)可知，∠BCE＝∠FCE，

∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，

∴∠NCE＝∠CMD，

∴當CM＝CN時，△MDC與△CEN全等，

當點N沿F→C路徑運動時，9﹣t＝6﹣3t，

解得，t＝ （不合題意），

當點N沿C→B路徑運動時，9﹣t═3t﹣6，

解得，t＝，

當點N沿B→C路徑運動時，由題意得，9﹣t＝18﹣3t，

解得，t＝，

當點N沿C→F路徑運動時，由題意得，9﹣t＝3t﹣18，

解得，t＝ ，

綜上所述，當t＝秒或秒或秒時，△MDC與△CEN全等．